Olimpiade Zone : Aljabar

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

• 1
• 2

---

No. 1

Diberikan $a$ dan $b$ bilangan real positif yang memenuhi,

$\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac1{a+b}$

Nilai dari ekspresi $\left(\dfrac{b}a+\dfrac{a}b\right)^2$ adalah ....

1. $7$
2. $5$
   
>

3. $3$
4. $1$
   

Grup WhatsApp

$\begin{aligned}\dfrac1a-\dfrac1b&=\dfrac1{a+b}\\[8pt]\dfrac{a+b}a-\dfrac{a+b}b&=1\\[8pt]1+\dfrac{b}a-\left(\dfrac{a}b+1\right)&=1\\[8pt]\dfrac{b}a-\dfrac{a}b&=1\\[8pt]\left(\dfrac{b}a-\dfrac{a}b\right)^2&=1^2\\[8pt]\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2-2\left(\dfrac{b}a\right)\left(\dfrac{a}b\right)&=1\\[8pt]\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2-2&=1\\[8pt]\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2&=3\end{aligned}$

$\begin{aligned}\left(\dfrac{b}a+\dfrac{a}b\right)^2&=\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2+2\left(\dfrac{b}a\right)\left(\dfrac{a}b\right)\\[8pt]&=3+2\\&=\boxed{\boxed{5}}\end{aligned}$

Jadi, $\left(\dfrac{b}a+\dfrac{a}b\right)^2=5$.
JAWAB: B

---

No. 2

Benar atau salah?
Jika $x$ adalah bilangan real dan ${\dfrac1x\lt10}$, maka ${x\gt\dfrac1{10}}$.

Brilliant.org

Ambil $x=-1$
$\dfrac1{-1}=-1\lt10$ (benar)
$-1\gt\dfrac1{10}$ (salah)

Jadi, Pernyataan di atas adalah salah.

---

No. 3

Jika $x+\dfrac1y=5$, $y+\dfrac1z=12$, $z+\dfrac1x=13$, maka $xyz+\dfrac1{xyz}=$ ....

$\begin{array}{rl}xyz+{\displaystyle \frac{1}{xyz}}& =(x+{\displaystyle \frac{1}{y}})(y+{\displaystyle \frac{1}{z}})(z+{\displaystyle \frac{1}{x}})-(x+{\displaystyle \frac{1}{y}}+y+{\displaystyle \frac{1}{z}}+z+{\displaystyle \frac{1}{x}})\\ & =(5)(12)(13)-(5+12+13)\\ & =780-30\\ & =750\end{array}$

Jadi, $xyz+\dfrac1{xyz}=750$.

---

No. 4

Dalam sekelompok wanita dan pria, jika 9 orang pria keluar, maka setiap pria mendapat pasangan 2 orang wanita. Tetapi jika 22 orang wanita keluar, maka setiap wanita mendapat pasangan 3 orang pria. Berapa banyak pria dalam kelompok mula-mula?

Misal $p$ adalah jumlah pria mula-mula, dan $w$ adalah jumlah wanita mula-mula.
$w=2(p−9)w=2p−18$

$\begin{array}{rl}p& =3(w-22)\\ p& =3(2p-18-22)\\ p& =3(2p-40)\\ p& =6p-120\\ 5p& =120\\ p& ={\displaystyle \frac{120}{5}}\\ p& =24\end{array}$

Jadi, banyak pria dalam kelompok mula-mula adalah 24 orang.

---

No. 5

Suatu operasi $*$ selalu memenuhi ${(a*b)*b=a}$, dan ${a*(a*b)=b}$. Jika diketahui ${2*1=3}$, maka berapakah $1*3$?

1. $1$
2. $2$
   

3. $3$
4. $4$
   

$\begin{aligned}2*(2*1)&=1\\2*3&=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}(2*3)*3&=2\\1*3&=2\end{aligned}$

Jadi, $1*3=2$.
JAWAB: B

---

No. 6

Jika $\dfrac{a+b}c=\dfrac65$ dan $\dfrac{b+c}a=\dfrac92$, maka nilai $\dfrac{a+c}b=$ ....

$\begin{aligned}\dfrac{a+b}c&=\dfrac65\\5a+5b&=6c\\-5a+6c&=5b\end{aligned}$

$\begin{aligned}\dfrac{b+c}a&=\dfrac92\\2b+2c&=9a\\9a-2c&=2b\end{aligned}$

$\begin{aligned}-5a+6c&=5b\\9a-2c&=2b&\qquad+\\\hline4a+4c&=7b\\4(a+c)&=7b\\\dfrac{a+c}b&=\dfrac74\end{aligned}$

Jadi, $\dfrac{a+c}b=\dfrac74$.

---

No. 7

$a$ dan $b$ adalah bilangan real. Jika ${\dfrac{a}b=a\times b=a+b}$, maka ${a-b=}$ ....

Brilliant.org

$\begin{aligned}\dfrac{a}b&=ab\\\dfrac1b&=b\\b^2&=1\\b&=\pm1\end{aligned}$

Jika $b=1$
$\begin{aligned}ab&=a+b\\a&=a+1\end{aligned}$
tidak ada nilai $a$ yang memenuhi

Jika $b=-1$
$\begin{aligned}ab&=a+b\\-a&=a-1\\2a&=1\\a&=\dfrac12\end{aligned}$

$a−b=12−(−1)=32$

Jadi, $a-b=\dfrac32$.

---

No. 8

Diketahui $x^5y^4=512$ dan $xy=4$. Maka nilai $\dfrac{8x}{x-1}$ adalah ....

$\begin{aligned}x^5y^4&=512\\xx^4y^4&=512\\x(xy)^4&=512\\x(4)^4&=512\\x(256)&=512\\x&=2\\\end{aligned}$

$\dfrac{8x}{x-1}=\dfrac{8(2)}{2-1}=16$

Jadi,

---

No. 9

Diketahui ${a^2 +b^2 = 1}$ dan ${c^2 + d^2 = 1}$. Nilai minimum dari ${ac+bd- 2}$ adalah ...

Learncy.net

$\begin{aligned}(a+c)^2+(b+d)^2&\geq0\\a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2&\geq0\\2ac+2bd+a^2+b^2+c^2+d^2&\geq0\\2ac+2bd+1+1&\geq0\\2ac+2bd+2&\geq0\\2ac+2bd&\geq-2\\ac+bd&\geq-1\\ac+bd-2&\geq-3\end{aligned}$

Jadi, nilai minimum dari $ac+bd- 2$ adalah $-3$.

---

No. 10

Jika $x$ merupakan bilangan riil sehingga ${x\sqrt{x}=4\sqrt{x}+\sqrt3}$, maka nilai ${x-\sqrt{3x}=}$ ....

$\begin{aligned}x\sqrt{x}&=4\sqrt{x}+\sqrt3\\x\sqrt{x}-4\sqrt{x}&=\sqrt3\\(x-4)\sqrt{x}&=\sqrt3\\(x-4)^2x&=3\\(x^2-8x+16)x-3&=0\\x^3-8x^2+16x-3&=0\\(x-3)(x^2-5x+1)&=0\end{aligned}$

• $x-3=0$
  $x=3$
  Tidak memenuhi
• $x^2-5x+1=0$
  $\begin{aligned}x^2-2x-3x+1&=0\\x^2-2x+1&=3x\\(x-1)^2&=3x\\x-1&=\sqrt{3x}\\x-\sqrt{3x}&=1\end{aligned}$

Jadi, nilai $x-\sqrt{3x}=1$.

• 1
• 2

Share this post