Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.
No. 1
Diberikan
a dan
b bilangan real positif yang memenuhi,
\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac1{a+b}
Nilai dari ekspresi
\left(\dfrac{b}a+\dfrac{a}b\right)^2 adalah ....
\(\begin{aligned}
\dfrac1a-\dfrac1b&=\dfrac1{a+b}\\[8pt]
\dfrac{a+b}a-\dfrac{a+b}b&=1\\[8pt]
1+\dfrac{b}a-\left(\dfrac{a}b+1\right)&=1\\[8pt]
\dfrac{b}a-\dfrac{a}b&=1\\[8pt]
\left(\dfrac{b}a-\dfrac{a}b\right)^2&=1^2\\[8pt]
\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2-2\left(\dfrac{b}a\right)\left(\dfrac{a}b\right)&=1\\[8pt]
\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2-2&=1\\[8pt]
\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2&=3
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
\left(\dfrac{b}a+\dfrac{a}b\right)^2&=\left(\dfrac{b}a\right)^2+\left(\dfrac{a}b\right)^2+2\left(\dfrac{b}a\right)\left(\dfrac{a}b\right)\\[8pt]
&=3+2\\
&=\boxed{\boxed{5}}
\end{aligned}\)
No. 2
Benar atau salah?
Jika
x adalah bilangan real dan
{\dfrac1x\lt10}, maka
{x\gt\dfrac1{10}}.
Ambil x=-1
\dfrac1{-1}=-1\lt10 (benar)
-1\gt\dfrac1{10} (salah)
No. 3
Jika
x+\dfrac1y=5,
y+\dfrac1z=12,
z+\dfrac1x=13, maka
xyz+\dfrac1{xyz}= ....
\(\eqalign{
xyz+\dfrac1{xyz}&=\left(x+\dfrac1y\right)\left(y+\dfrac1z\right)\left(z+\dfrac1x\right)-\left(x+\dfrac1y+y+\dfrac1z+z+\dfrac1x\right)\\
&=(5)(12)(13)-(5+12+13)\\
&=780-30\\
&=750
}\)
No. 4
Dalam sekelompok wanita dan pria, jika 9 orang pria keluar, maka setiap pria mendapat pasangan 2 orang wanita. Tetapi jika 22 orang wanita keluar, maka setiap wanita mendapat pasangan 3 orang pria. Berapa banyak pria dalam kelompok mula-mula?
Misal p adalah jumlah pria mula-mula, dan w adalah jumlah wanita mula-mula.
\begin{aligned}
w&=2(p-9)\\
w&=2p-18
\end{aligned}
\(\eqalign{
p&=3(w-22)\\
p&=3(2p-18-22)\\
p&=3(2p-40)\\
p&=6p-120\\
5p&=120\\
p&=\dfrac{120}5\\
p&=24
}\)
No. 5
Suatu operasi
* selalu memenuhi
{(a*b)*b=a}, dan
{a*(a*b)=b}. Jika diketahui
{2*1=3}, maka berapakah
1*3?
\(\begin{aligned}
2*(2*1)&=1\\
2*3&=1
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
(2*3)*3&=2\\
1*3&=2
\end{aligned}\)
No. 6
Jika
\dfrac{a+b}c=\dfrac65 dan
\dfrac{b+c}a=\dfrac92, maka nilai
\dfrac{a+c}b= ....
\(\begin{aligned}
\dfrac{a+b}c&=\dfrac65\\
5a+5b&=6c\\
-5a+6c&=5b
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
\dfrac{b+c}a&=\dfrac92\\
2b+2c&=9a\\
9a-2c&=2b
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
-5a+6c&=5b\\
9a-2c&=2b&\qquad+\\\hline
4a+4c&=7b\\
4(a+c)&=7b\\
\dfrac{a+c}b&=\dfrac74
\end{aligned}\)
No. 7
a dan
b adalah bilangan real. Jika
{\dfrac{a}b=a\times b=a+b}, maka
{a-b=} ....
\(\begin{aligned}
\dfrac{a}b&=ab\\
\dfrac1b&=b\\
b^2&=1\\
b&=\pm1
\end{aligned}\)
Jika b=1
\(\begin{aligned}
ab&=a+b\\
a&=a+1
\end{aligned}\)
tidak ada nilai a yang memenuhi
Jika b=-1
\(\begin{aligned}
ab&=a+b\\
-a&=a-1\\
2a&=1\\
a&=\dfrac12
\end{aligned}\)
\begin{aligned}
a-b&=\dfrac12-(-1)\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac32}}
\end{aligned}
No. 8
Diketahui
x^5y^4=512 dan
xy=4. Maka nilai
\dfrac{8x}{x-1} adalah ....
\(\begin{aligned}
x^5y^4&=512\\
xx^4y^4&=512\\
x(xy)^4&=512\\
x(4)^4&=512\\
x(256)&=512\\
x&=2\\
\end{aligned}\)
\dfrac{8x}{x-1}=\dfrac{8(2)}{2-1}=16
No. 9
Diketahui
{a^2 +b^2 = 1} dan
{c^2 + d^2 = 1}. Nilai minimum dari
{ac+bd- 2} adalah ...
\(\begin{aligned}
(a+c)^2+(b+d)^2&\geq0\\
a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2&\geq0\\
2ac+2bd+a^2+b^2+c^2+d^2&\geq0\\
2ac+2bd+1+1&\geq0\\
2ac+2bd+2&\geq0\\
2ac+2bd&\geq-2\\
ac+bd&\geq-1\\
ac+bd-2&\geq-3
\end{aligned}\)
No. 10
Jika
x merupakan bilangan riil sehingga
{x\sqrt{x}=4\sqrt{x}+\sqrt3}, maka nilai
{x-\sqrt{3x}=} ....
\(\begin{aligned}
x\sqrt{x}&=4\sqrt{x}+\sqrt3\\
x\sqrt{x}-4\sqrt{x}&=\sqrt3\\
(x-4)\sqrt{x}&=\sqrt3\\
(x-4)^2x&=3\\
(x^2-8x+16)x-3&=0\\
x^3-8x^2+16x-3&=0\\
(x-3)(x^2-5x+1)&=0
\end{aligned}\)
- x-3=0
x=3
Tidak memenuhi
- x^2-5x+1=0
\(\begin{aligned}
x^2-2x-3x+1&=0\\
x^2-2x+1&=3x\\
(x-1)^2&=3x\\
x-1&=\sqrt{3x}\\
x-\sqrt{3x}&=1
\end{aligned}\)
0 Response to "Olimpiade Zone : Aljabar"
Post a Comment