SBMPTN Zone : Kubus

Berikut ini adalah kumpulan soal memgenai Kubus tingkat SBMPTN. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.
Tingkat kesulitan :

• Tingkat kesulitan 👉
• Dasar
• SBMPTN
• Olimpiade

---

No. 1

Diketahui suatu kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang sisi $a$ cm. Titik $P$ berada di rusuk $AB$ sehingga ${AP:PB=1:3}$, titik $Q$ berada di rusuk $BC$ sehingga ${BQ:QC=3:1}$, titik $R$ berada di rusuk $BF$ sehingga ${BR:RF=3:1}$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara bidang $PQR$ dan garis $DR$, maka nilai $\tan\alpha=$ ....

1. $\dfrac{5\sqrt2}{14}$
2. $\dfrac{14}{\sqrt{246}}$
3. $\dfrac{7\sqrt{246}}{123}$

4. $\dfrac{\sqrt{246}}{14}$
5. $\dfrac12\sqrt2$

$DB=a\sqrt2$
$OB=\dfrac12DB=\dfrac12a\sqrt2$

$OS:SB=AP:PB=1:3$

$\begin{array}{rl}SB& ={\displaystyle \frac{3}{1+3}}OB\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a\sqrt{2}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}\end{array}$

$BR=\dfrac34a$

$\begin{array}{rl}\tan \alpha & =\tan (\mathrm{\angle }BRD-\mathrm{\angle }BRS)\\ & ={\displaystyle \frac{\tan \mathrm{\angle }BRD-\tan \mathrm{\angle }BRS}{1+\tan \mathrm{\angle }BRD\tan \mathrm{\angle }BRS}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{DB}{BR}}-{\displaystyle \frac{SB}{BR}}}{1+{\displaystyle \frac{DB}{BR}}\cdot {\displaystyle \frac{SB}{BR}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}}{1+{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}\sqrt{2}}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{14}}\end{array}$

JAWAB: A

---

No. 2

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt2$ cm. Jika $P$ di tengah-tengah $AB$ dan titik $Q$ di tengah-tengah $BC$, maka jarak titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah ... cm.

1. $\sqrt{15}$
2. $4$
3. $\sqrt{17}$

4. $3\sqrt2$
5. $>\sqrt{19}$

SBMPTN 2018

Hubungkan titik $H$ dan titik $P$, hubungkan titik $H$ dan titik $Q$. Segitiga $HPQ$ merupakan segitiga sama kaki sehingga jarak titik $H$ ke garis $PQ$ adalah panjang garis dari titik $H$ ke tengah garis $PQ$. Misal titik tengah $PQ$ adalah titik $R$.
${AP=PB=BQ=\dfrac12\left(2\sqrt2\right)=\sqrt2}$

${PQ=\sqrt2\cdot\sqrt2=2}$

$\begin{array}{rl}PR& ={\displaystyle \frac{1}{2}}PQ\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(2)\\ & =1\end{array}$

$HA=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4$

$\begin{array}{rl}HP& =\sqrt{H{A}^2+A{P}^2}\\ & =\sqrt{4^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}\end{array}$

$\begin{array}{rl}HR& =\sqrt{H{P}^2-P{R}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\sqrt{20}\right)}^2-1^2}\\ & =\sqrt{20-1}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sqrt{19}}}}}\end{array}$

Jadi, jarak titik $H$ dengan garis $PQ$ adalah $\sqrt{19}$ cm
JAWAB: E

---

No. 3

Sebuah kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $x$. $Q$ adalah titik tengah dari rusuk $GC$, dan $R$ adalah perpanjangan garis $AB$ sehingga ${AB + BR = AR = 4x}$. Maka, perbandingan volume limas $Q.ARC$ dan volume kubus $ABCD.EFGH$ adalah

1. $1:1$
2. $1:2$
3. $2:1$

4. $3:1$
5. $1:3$

$t=CQ=\dfrac12x$

$\begin{aligned}L_a&=L_{ARC}\\&=\dfrac12\cdot AR\cdot BC\\&=\dfrac12\cdot4x\cdot x\\&=2x^2\end{aligned}$

$\begin{aligned}V_{Q.ARC}&=\dfrac13L_at\\&=\dfrac13\cdot2x^2\cdot\dfrac12x\\&=\dfrac13x^3\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\dfrac{v_{Q.ARC}}{V_{ABCD.EFGH}}&=\dfrac{\dfrac13x^3}{x^3}\\&=\dfrac13\\&=1:3\end{aligned}$

Jadi, perbandingan volume limas $Q.ARC$ dan volume kubus $ABCD.EFGH$ adalah $1:3$.
JAWAB: E

---

No. 4

Pada kubus $ABCD.EFGH$, $P$ pada $EG$ sehingga ${EP:PG=1:2}$. Jika jarak $E$ ke garis $AP$ adalah $a$, maka panjang rusuk kubus tersebut adalah

1. $\dfrac{a}{11}\sqrt2$
2. $\dfrac{a}2\sqrt{11}$
3. $a\sqrt{22}$

4. $\dfrac{a}2\sqrt{22}$
5. $a\sqrt{11}$

Misal jarak $E$ ke $AP$ adalah $EQ=a$, dan panjang rusuknya adalah $s$.

$\begin{aligned}AP&=\sqrt{s^2+\left(\dfrac13s\sqrt2\right)^2}\\&=\sqrt{s^2+\dfrac29s^2}\\&=\sqrt{\dfrac{11}9s^2}\\&=\dfrac{s}3\sqrt{11}\end{aligned}$

$\begin{aligned}EQ&=\dfrac{AE\cdot EP}{AP}\\[8pt]a&=\dfrac{s\cdot \dfrac{s}3}{\dfrac{s}3\sqrt{11}}\\[15pt]&=\dfrac{s}{\sqrt{11}}\\s&=\boxed{\boxed{a\sqrt{11}}}\end{aligned}$

Jadi, panjang rusuk kubus tersebut adalah $a\sqrt{11}$.
JAWAB: E

Share this post