Exercise Zone : Proyeksi Vektor (Vector Projection)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Proyeksi Vektor tingkat Dasar. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Jika proyeksi orthogonal vektor ${\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}}$ pada vektor ${\vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j}}$ adalah vektor $\vec{w}$, maka $\left|\vec{w}\right|$ adalah ....

Grup WhatsApp

$\begin{aligned} \left|\vec{v}\right|&=\sqrt{(-4)^2+(8)^2}\\ &=\sqrt{16+64}\\ &=\sqrt{80}\\ &=4\sqrt5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left|\vec{w}\right|&=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\\[8pt] &=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\8\end{pmatrix}}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac{-12+32}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac{20}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac5{\sqrt5}{\color{red}{\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}}}\\[8pt] &=\dfrac{5\sqrt5}{5}\\ &=\boxed{\boxed{\sqrt5}} \end{aligned}$

Jadi, $\left|\vec{w}\right|=\sqrt5$.

---

No. 2

Vektor yang merupakan proyeksi vektor ${\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}}$ pada ${2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}}$ adalah

1. ${\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+2\vec{k}}$
2. ${4\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}}$
   
3. ${\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}$
   

4. ${\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}}$
5. ${\vec{i}+\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}$
   

Misal $\vec{a}=i-2j+3k$, $\vec{b}=2i+j+k$, dan $\vec{c}$ adalah vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.

$\begin{aligned} \left|\vec{b}\right|&=\sqrt{2^2+1^2+1^2}\\ &=\sqrt{4+1+1}\\ &=\sqrt6 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \vec{c}&=\dfrac{a\cdot b}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b}\\ &=\dfrac{(i-2j+3k)\cdot(2i+j+k)}{\left(\sqrt6\right)^2}(2i+j+k)\\ &=\dfrac{2-2+3}6(2i+j+k)\\ &=\dfrac36(2i+j+k)\\ &=\dfrac12(2i+j+k)\\ &=\boxed{\boxed{i+\dfrac12j+\dfrac12k}} \end{aligned}$

Jadi, vektor yang merupakan proyeksi vektor ${\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}}$ pada ${2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}}$ adalah ${\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}$.
JAWAB: C

---

No. 3

Jika proyeksi ${\vec{u}=(2,4)}$ pada ${\vec{w}=(3,1)}$ sama dengan proyeksi ${\vec{v}=(a,-2)}$ pada $\vec{w}$. maka nilai $a$ yang memenuhi adalah

1. $-2$
2. $-3$
   
3. $2$
   

4. $3$
5. $4$
   

CARA 1

$\begin{aligned} \left|\vec{w}\right|^2&=3^2+1^2\\ &=9+1\\ &=10 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}&=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}\\[8pt] \dfrac{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] \dfrac{6+4}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{3a-2}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] \dfrac{10}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix}\\[8pt] \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 1&=\dfrac{3a-2}{10}\\[8pt] 10&=3a-2\\ 12&=3a\\ a&=\dfrac{12}3\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}$

CARA CEPAT

$\begin{aligned} \vec{u}\cdot\vec{w}&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\ \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] 6+4&=3a-2\\ 10&=3a-2\\ 12&=3a\\ a&=\dfrac{12}3\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}$

Jadi, $a=4$.
JAWAB: E

Share this post