Exercise Zone : Proyeksi Vektor (Vector Projection)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Proyeksi Vektor tingkat Dasar. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Jika proyeksi orthogonal vektor {\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}} pada vektor {\vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j}} adalah vektor \vec{w}, maka \left|\vec{w}\right| adalah ....

Grup WhatsApp

\begin{aligned}
\left|\vec{v}\right|&=\sqrt{(-4)^2+(8)^2}\\
&=\sqrt{16+64}\\
&=\sqrt{80}\\
&=4\sqrt5
\end{aligned}

\begin{aligned}
\left|\vec{w}\right|&=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\\[8pt]
&=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\8\end{pmatrix}}{4\sqrt5}\\[8pt]
&=\dfrac{-12+32}{4\sqrt5}\\[8pt]
&=\dfrac{20}{4\sqrt5}\\[8pt]
&=\dfrac5{\sqrt5}{\color{red}{\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}}}\\[8pt]
&=\dfrac{5\sqrt5}{5}\\
&=\boxed{\boxed{\sqrt5}}
\end{aligned}

Jadi, \left|\vec{w}\right|=\sqrt5.

---

No. 2

Vektor yang merupakan proyeksi vektor {\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}} pada {2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}} adalah

1. {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+2\vec{k}}
2. {4\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}}
   
3. {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}
   

4. {\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}}
5. {\vec{i}+\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}
   

Misal \vec{a}=i-2j+3k, \vec{b}=2i+j+k, dan \vec{c} adalah vektor proyeksi \vec{a} pada \vec{b}.

\begin{aligned}
\left|\vec{b}\right|&=\sqrt{2^2+1^2+1^2}\\
&=\sqrt{4+1+1}\\
&=\sqrt6
\end{aligned}

\begin{aligned}
\vec{c}&=\dfrac{a\cdot b}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b}\\
&=\dfrac{(i-2j+3k)\cdot(2i+j+k)}{\left(\sqrt6\right)^2}(2i+j+k)\\
&=\dfrac{2-2+3}6(2i+j+k)\\
&=\dfrac36(2i+j+k)\\
&=\dfrac12(2i+j+k)\\
&=\boxed{\boxed{i+\dfrac12j+\dfrac12k}}
\end{aligned}

Jadi, vektor yang merupakan proyeksi vektor {\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}} pada {2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}} adalah {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}.
JAWAB: C

---

No. 3

Jika proyeksi {\vec{u}=(2,4)} pada {\vec{w}=(3,1)} sama dengan proyeksi {\vec{v}=(a,-2)} pada \vec{w}. maka nilai a yang memenuhi adalah

1. -2
2. -3
   
3. 2
   

4. 3
5. 4
   

CARA 1

\begin{aligned}
\left|\vec{w}\right|^2&=3^2+1^2\\
&=9+1\\
&=10
\end{aligned}

\begin{aligned}
\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}&=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}\\[8pt]
\dfrac{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt]
\dfrac{6+4}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{3a-2}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt]
\dfrac{10}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix}\\[8pt]
\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix}
\end{aligned}

\begin{aligned}
1&=\dfrac{3a-2}{10}\\[8pt]
10&=3a-2\\
12&=3a\\
a&=\dfrac{12}3\\
&=\boxed{\boxed{4}}
\end{aligned}

CARA CEPAT

\begin{aligned}
\vec{u}\cdot\vec{w}&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\
\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt]
6+4&=3a-2\\
10&=3a-2\\
12&=3a\\
a&=\dfrac{12}3\\
&=\boxed{\boxed{4}}
\end{aligned}

Jadi, a=4.
JAWAB: E

Share this post