Olimpiade Zone : Fungsi

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

No. 1

Jika f adalah fungsi yang memenuhi {f(n)=f(n-1)+\dfrac{n}{2018}} untuk setiap n bilangan asli dan {f(0)=\dfrac{2017}2}, maka nilai f(2018) adalah ....
\(\begin{aligned} f(n)&=f(n-1)+\dfrac{n}{2018}\\ &=f(n-2)+\dfrac{n-1}{2018}+\dfrac{n}{2018}\\ &=f(n-3)+\dfrac{n-2}{2018}+\dfrac{n-1}{2018}+\dfrac{n}{2018}\\\\ &=\cdots\\ &=f(0)+\dfrac{1+2+\cdots+n}{2018}\\ &=\dfrac{2017}2+\dfrac{\dfrac12n(n+1)}{2018}\\ &=\dfrac{2017}2+\dfrac{n(n+1)}{2\cdot2018}\\ f(2018)&=\dfrac{2017}2+\dfrac{2018(2018+1)}{2\cdot2018}\\ &=\dfrac{2017}2+\dfrac{2019}2\\ &=\boxed{\boxed{2018}} \end{aligned}\)

No. 2

Diketahui suatu fungsi f bersifat {f(-x)=-f(x)} untuk setiap bilangan real x. Jika {f(4)=-7} dan {f(-7)=5}, maka nilai f(f(4))=
  1. -5
  2. -6
  3. -7
  1. -8
  2. -9
\(\begin{aligned} f(f(-4))&=f(-f(4))\\ &=f(-(-7))\\ &=-f(-7)\\ &=\boxed{\boxed{-5}} \end{aligned}\)

No. 3

Diberikan fungsi {f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} yang memenuhi {f(2019x) = x}. Nilai dari f(1) adalah
kita cari nilai x sedemikian sehingga 2019x=1, didapat x=\dfrac1{2019}.

No. 4

Diketahui fungsi bilangan real {f(x)=\dfrac{x}{1-x}}, untuk {x\neq-1}. Nilai dari
{f(2016)+f(2015)+\cdots+f(3)+f(2)+f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1{2015}\right)+f\left(\dfrac1{2016}\right)}
adalah
  1. -4.034
  2. -4.032
  1. -4.030
  2. -4.028
\(\begin{aligned} f\left(\dfrac1x\right)&=\dfrac{\dfrac1x}{1-\dfrac1x}\cdot\dfrac{x}x\\[8pt] &=\dfrac1{x-1} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f(x)+f\left(\dfrac1x\right)&=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac1{x-1}\\[8pt] &=\dfrac{x}{1-x}-\dfrac1{1-x}\\[8pt] &=\dfrac{x-1}{1-x}\\ &=-1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f(2016)+f(2015)+\cdots+f(3)+f(2)+f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1{2015}\right)+f\left(\dfrac1{2016}\right)&=2015\cdot(-1)\\ &=-2015 \end{aligned}\)

0 Response to "Olimpiade Zone : Fungsi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel