Olimpiade Zone : Fungsi

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Jika $f$ adalah fungsi yang memenuhi ${f(n)=f(n-1)+\dfrac{n}{2018}}$ untuk setiap $n$ bilangan asli dan ${f(0)=\dfrac{2017}2}$, maka nilai $f(2018)$ adalah ....

OMVN 2018

$\begin{aligned}f(n)&=f(n-1)+\dfrac{n}{2018}\\&=f(n-2)+\dfrac{n-1}{2018}+\dfrac{n}{2018}\\&=f(n-3)+\dfrac{n-2}{2018}+\dfrac{n-1}{2018}+\dfrac{n}{2018}\\\\&=\cdots\\&=f(0)+\dfrac{1+2+\cdots+n}{2018}\\&=\dfrac{2017}2+\dfrac{\dfrac12n(n+1)}{2018}\\&=\dfrac{2017}2+\dfrac{n(n+1)}{2\cdot2018}\\f(2018)&=\dfrac{2017}2+\dfrac{2018(2018+1)}{2\cdot2018}\\&=\dfrac{2017}2+\dfrac{2019}2\\&=\boxed{\boxed{2018}}\end{aligned}$

Jadi, nilai $f(2018)$ adalah 2018.

---

No. 2

Diketahui suatu fungsi $f$ bersifat ${f(-x)=-f(x)}$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika ${f(4)=-7}$ dan ${f(-7)=5}$, maka nilai $f(f(4))=$

1. $-5$
2. $-6$
3. $-7$

4. $-8$
5. $-9$

$\begin{aligned}f(f(-4))&=f(-f(4))\\&=f(-(-7))\\&=-f(-7)\\&=\boxed{\boxed{-5}}\end{aligned}$

Jadi, $f(f(4))=-5$.

---

No. 3

Diberikan fungsi ${f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}$ yang memenuhi ${f(2019x) = x}$. Nilai dari $f(1)$ adalah

SUMBER

kita cari nilai $x$ sedemikian sehingga $2019x=1$, didapat $x=\dfrac1{2019}$.

Jadi, $f(1)=\dfrac1{2019}$.

---

No. 4

Diketahui fungsi bilangan real ${f(x)=\dfrac{x}{1-x}}$, untuk ${x\neq-1}$. Nilai dari

${f(2016)+f(2015)+\cdots+f(3)+f(2)+f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1{2015}\right)+f\left(\dfrac1{2016}\right)}$

adalah

1. $-4.034$
2. $-4.032$
   

3. $-4.030$
4. $-4.028$
   

SUMBER

$\begin{aligned}f\left(\dfrac1x\right)&=\dfrac{\dfrac1x}{1-\dfrac1x}\cdot\dfrac{x}x\\[8pt]&=\dfrac1{x-1}\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(x)+f\left(\dfrac1x\right)&=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac1{x-1}\\[8pt]&=\dfrac{x}{1-x}-\dfrac1{1-x}\\[8pt]&=\dfrac{x-1}{1-x}\\&=-1\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(2016)+f(2015)+\cdots+f(3)+f(2)+f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1{2015}\right)+f\left(\dfrac1{2016}\right)&=2015\cdot(-1)\\&=-2015\end{aligned}$

Jadi, $f(2016)+f(2015)+\cdots+f(3)+f(2)+f\left(\dfrac12\right)+f\left(\dfrac13\right)+\cdots+f\left(\dfrac1{2015}\right)+f\left(\dfrac1{2016}\right)=-2015$.
JAWAB: TIDAK ADA JAWABAN

Share this post