Olimpiade Zone : Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Persamaan Kuadrat tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan {(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0} yang mungkin adalah ....

OSK 2018

\(\begin{aligned} (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)&=0\\ (x-b)(x-a+x-c)&=0\\ (x-b)\left(2x-(a-c)\right)&=0 \end{aligned}\)
x=b dan x=\dfrac{a+c}2

Jumlah akar-akarnya adalah b+\dfrac{a+c}2.
Kita ambil 3 bilangan asli satu digit terbesar yaitu 7, 8, dan 9. Nilai a dan c dibagi dengan 2, sehingga b harus bilangan yang terbesar yaitu 9.
b+\dfrac{a+c}2=9+\dfrac{7+8}2=16{,}5.

Jadi, jumlah terbesar akar-akar persamaan (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0 yang mungkin adalah 16{,}5.

---

No. 2

Jika semua akar persamaan {x^2-5x+t=0} merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai t yang mungkin adalah ....

1. 5
2. 8
3. 9

4. 10
5. 20

Misal akar-akarnya adalah x_1 dan x_2.
x_1+x_2=5
Pasangan bilangan bulat positif yang jumlahnya 5 adalah {1,4} dan {2,3}

Jika akar-akarnya 1 dan 4 maka:
t=1\cdot4=4

Jika akar-akarnya 2 dan 3 maka:
t=2\cdot3=6

4+6=10

Jadi, jumlah semua nilai t yang mungkin adalah 10.
JAWAB: D

---

No. 3

Jika {(ax+2)(bx+7)=12x^2+Cx+14} untuk semua nilai x dan {a+b=7}, maka nilai C=

1. 27 dan 29
2. 28 dan 32
3. 27 dan 32

4. 28 dan 33
5. 29 dan 34

\(\begin{aligned} (ax+2)(bx+7)&=12x^2+Cx+14\\ abx^2+(7a+2b)x+14&=12x^2+Cx+14 \end{aligned}\)

ab=12

didapat,
(a,b)=(3,4) atau (4,3)

\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(3)+2(4)\\ &=21+8\\ &=29 \end{aligned}\)
atau
\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(4)+2(3)\\ &=28+6\\ &=34 \end{aligned}\)

Jadi, C=29 dan 34.
JAWAB: E

---

No. 4

Akar-akar persamaan kuadrat {2x^2-7x+2=0} adalah r dan s. Tentukan hasil dari {\dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}}

\(\begin{aligned} 2x^2-7x+2&=0\\ 2x^2+2&=7x\\ x^2+1&=\dfrac{7x}2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}&=\dfrac{r}{\left(\dfrac{7r}2\right)^2}+\dfrac{s}{\left(\dfrac{7s}2\right)^2}\\[10pt] &=\dfrac{r}{\dfrac{49r^2}4}+\dfrac{s}{\dfrac{49s^2}4}\\[10pt] &=\dfrac4{49r}+\dfrac4{49s}\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{r+s}{rs}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{-\dfrac72}{\dfrac22}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(-\dfrac72\right)\\ &=\boxed{\boxed{-\dfrac27}} \end{aligned}\)

Jadi, \dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}=-\dfrac27.

---

No. 5

Jika akar-akar persamaan kuadrat {x^2-5x-3 = 0} adalah \alpha dan \beta maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya {\alpha^2-5\alpha} dan {\beta^2-5\beta + 1} adalah

1. {x^2+12x+7=0}
2. {x^2-12x-7=0}
3. {x^2-12x+7=0}

4. {x^2+7x+12=0}
5. {x^2-7x+12=0}

SUMBER

\(\begin{aligned} x^2-5x-3&= 0\\ x^2-5x&=3 \end{aligned}\)

\alpha^2-5\alpha=3

\(\begin{aligned} \beta^2-5\beta&=3\\ \beta^2-5\beta+1&=4 \end{aligned}\)

Persamaan kuadrat barunya,
\(\begin{aligned} x^2-(3+4)x+3\cdot4&=0\\ x^2-7x+12&=0 \end{aligned}\)

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya \alpha^2-5\alpha dan \beta^2-5\beta + 1 adalah x^2-7x+12=0.
JAWAB: E

Share this post