SBMPTN Zone : Fungsi Kuadrat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi Kuadrat tingkat SBMPTN. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

• 1
• 2

---

No. 1

Jika berdasarkan fungsi kuadrat $y=f(x)$ diketahui $y=f(x+a)$ menyinggung sumbu-$x$ di titik $x=10$, maka $y=f(x-a)$ mencapai nilai maksimum pada $x=$ ....

1. $2a+20$
2. $2a+10$
3. $2a-10$

4. $a+10$
5. $a-10$

SUMBER

Misal $y=f(x)$ mencapai maksimum pada $x=p$
$y=f(x+a)$ mencapai maksimum pada $x=10$ maka,
$\begin{array}{rl}p-a& =10\\ p& =a+10\end{array}$

$y=f(x-a)$ mencapai maksimum pada:
$\begin{array}{rl}x& =p+a\\ & =a+10+a\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2a+10}}}}\end{array}$

Jadi, $y=f(x-a)$ mencapai nilai maksimum pada $x=2a+10$.
JAWAB: B

---

No. 2

Diketahui fungsi kuadrat ${f(x)=-x^2+x+2}$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan $y=2$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=2$. Luas dari segitiga yang terbentuk adalah....

1. $\dfrac14$
2. $\dfrac12$
3. $1$

4. $\dfrac32$
5. $\dfrac52$

Titik potong $f(x)$ dan $y=2$
$\begin{array}{rl}-x^2+x+2& =2\\ x^2-x& =0\\ x(x-1)& =0\end{array}$
$x=0$ dan $x=1$

$f'(x)=-2x+1$

Untuk $x=0$,
$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(0)\\ & =-2(0)+1\\ & =1\\ \alpha & ={45}^{\circ }\end{array}$

Untuk $x=1$,
$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(1)\\ & =-2(1)+1\\ & =-1\\ \alpha & ={135}^{\circ }\end{array}$

Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sama kaki.

$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

Jadi, luas dari segitiga yang terbentuk adalah $\dfrac14$.
JAWAB: A

---

No. 3

Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat ${f(x)=ax^2+bx+c}$ adalah $2$. Jika ${f(2)=f(4)=0}$ maka ${a+b+c=}$ ....

1. $-10$
2. $-6$
3. $-4$

4. $4$
5. $6$

$\begin{array}{rl}{x}_p& ={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2+4}{2}}\\ & =3\end{array}$

$f(x)=a(x-2)(x-4)$

Melalui (3, 2)
$\begin{array}{rl}2& =a(3-2)(3-4)\\ 2& =a(-1)(1)\\ 2& =-a\\ a& =-2\end{array}$

$f(x)=-2(x-2)(x-4)$

$\begin{array}{rl}a+b+c& =f(1)\\ & =-2(1-2)(1-4)\\ & =-2(-1)(-3)& =-6\end{array}$

Jadi, $a+b+c=-6$.
JAWAB: B

---

No. 4

Jika $x$ dan $y$ adalah fungsi dari $t$ dengan ${2x=t+1}$ dan ${t^2=y-2}$, maka $y$ adalah fungsi kuadrat dalam $x$ yang grafiknya parabola. Titik puncak parabola ini tercapai bilamana $t=p$. Nilai ${p+2=}$ ....

$x=\dfrac12t+\dfrac12$

$y=t^2+2$

$\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=0\\\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}&=0\\(2t)\left(\dfrac12\right)&=0\\t&=0\\p&=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}p+2&=0+2\\&=\boxed{\boxed{2}}\end{aligned}$

Jadi, $p+2=2$.

---

No. 5

Agar grafik fungsi ${y=x^2+2x-a+3}$ seluruhnya berada di bawah grafik fungsi ${y=2x^2+ax+1}$, maka nilai $a$ haruslah ....

1. $a\gt2$
2. $-6\lt a\lt2$
3. $2\lt a\lt6$

4. ${a\lt-6\text{ atau }a\gt2}$
5. ${a\lt2\text{ atau }a\gt2}$

Ganesha Operation

$\begin{aligned}x^2+2x-a+3&\lt2x^2+ax+1\\-x^2+(2-a)x-a+2&\lt0\end{aligned}$
Agar grafik fungsi ${y=x^2+2x-a+3}$ seluruhnya berada di bawah grafik fungsi ${y=2x^2+ax+1}$, maka $-x^2+(2-a)x-a+2$ harus selalu kurang dari $0$, atau dengan kata lain definit negatif. Syarat definit negatif adalah $a\lt0$ dan $D\lt0$.

$\begin{aligned}D&\lt0\\(2-a)^2-4(-1)(-a+2)&\lt0\\4-4a+a^2-4a+8&\lt0\\a^2-8a+12&\lt0\\(a-2)(a-6)&\lt0\end{aligned}$
$2\lt a\lt6$

Jadi, $2\lt a\lt6$.
JAWAB: C

---

No. 6

Dua titik dengan ${x_1 =-a}$ dan ${x_2 = 3a}$ dimana ${a\neq0}$, terletak pada parabola ${y=x^2}$. Garis $g$ menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis $g$, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu $y$ di ...

1. $-a^2$
2. $a^2$
3. $2a^2$

4. $4a^2$
5. hatimu

SUMBER

$x_1=-a$
$y_1=(-a)^2=a^2$

$x_2=3a$
$y_2=(3a)^2=9a^2$

Garis $g$ melalui $(-a,a^2)$ dan $(3a,9a^2)$.

Gradien garis $g$:
$\begin{aligned}m_g&=\dfrac{9a^2-a^2}{3a-(-a)}\\&=\dfrac{8a^2}{4a}\\&=2a\end{aligned}$

Misal garis singgung yang sejajar garis $g$ adalah garis $h$ dan titik singgungnya adalah titik $A$, maka
$m_h=m_g=2a$

$\begin{aligned}y'&=2x\\m_h&=2x_A\\2a&=2x_A\\x_A&=a\end{aligned}$

$\begin{aligned}y_A&={x_A}^2\\&=a^2\end{aligned}$

Persamaan garis $h$ (garis singgung):
$\begin{aligned}y-y_A&=m_h(x-x_A)\\y-a^2&=2a(x-a)\\y-a^2&=2ax-2a^2\\y&=2ax-a^2\end{aligned}$

Titik potong garis $h$ terhadap sumbu $y$ adalah $(0,-a^2)$

Jadi, garis singgung tersebut akan memotong sumbu $y$ di $-a^2$.

---

No. 7

Jika diketahui garis singgung parabola $y= 3x^2 + ax + 1$, pada titik $x=-2$ membentuk sudut terhadap sumbu $x$ sebesar $\arctan(6)$. Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus $y= -9x-59$ dan parabola tersebut adalah ....

1. $0$
2. $\dfrac12$
3. $1$

4. $3$
5. $\infty$

SUMBER

Misal $\alpha$ adalah sudut antara garis singgung terhadap sumbu $x$.
$\begin{aligned}\alpha&=\arctan(6)\\\tan\alpha&=6\\m&=6\end{aligned}$

$\begin{aligned}y'&=6x+a\\m&=6(-2)+a\\6&=-12+a\\a&=18\end{aligned}$

Persamaan parabolanya adalah:
$y=3x^2+18x+1$

Titik potong $y=3x^2+18x+1$ dan $y= -9x-59$
$\begin{aligned}3x^2+18x+1&=-9x-59\\3x^2+27x+60&=0\\x^2+9x+20&=0\\(x+4)(x+5)&=0\end{aligned}$
$x=-4$ dan $x=-5$

$\begin{aligned}L&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-9x-59-\left(3x^2+18x+1\right)\right)\ dx\\&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-9x-59-3x^2-18x-1\right)\ dx\\&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-3x^2-27x-60\right)\ dx\\&=\left[-x^3-\dfrac{27}2x^2-60x\right]_{-5}^{-4}\\&=\left[-(-4)^3-\dfrac{27}2(-4)^2-60(-4)\right]-\left[-(-5)^3-\dfrac{27}2(-5)^2-60(-5)\right]\\&=\left[64-216+240\right]-\left[125-\dfrac{675}2+300\right]\\&=\left[88\right]-\left[425-337\dfrac12\right]\\&=88-425+337\dfrac12\\&=\boxed{\boxed{\dfrac12}}\end{aligned}$

Jadi, luasnya adalah $\dfrac12$.
JAWAB: B

---

No. 8

Jika grafik fungsi $y=-x^2+12x$ memotong sumbu $x$ di titik $A$ dan $B$ serta $C$ adalah titik puncaknya maka luas segitiga $ABC$ adalah .... satuan luas.

1. $146$
2. $186$
3. $216$

4. $224$
5. $236$

Titik potong sumbu $x$
$\begin{aligned}-x^2+12x&=0\\-x(x-12)&=0\end{aligned}$
$x=0$ dan $x=12$

Titik puncak
$\begin{aligned}x_p&=-\dfrac{b}{2a}\\&=-\dfrac{12}{2(-1)}\\&=6\end{aligned}$

$\begin{aligned}y_p&=-6^2+12(6)\\&=-36+72\\&=36\end{aligned}$

$\begin{aligned}L&=\dfrac12\cdot a\cdot t\\&=\dfrac12\cdot12\cdot36\\&=\boxed{\boxed{216}}\end{aligned}$

Jadi, luas segitiga $ABC$ adalah $216$ satuan luas.
JAWAB: C

---

No. 9

Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x+1)^2$ di titik $A$ dan $B$. Jika $P(2,4)$ adalah titik tengah ruas garis $AB$ maka persamaan garis $AB$ adalah...

1. $y=2x$
2. $y=3x-2$
3. $y=x+2$

4. $y=4x-2$
5. $y=6x-8$

$y=(x+1)^2=x^2+2x+1$

$\begin{aligned}\dfrac{x_A+x_B}2&=2\\x_A+x_B&=4\end{aligned}$

$\begin{aligned}\dfrac{y_A+y_B}2&=4\\y_A+y_B&=8\end{aligned}$

Misal persamaan garis $AB$ adalah $y=mx+c$.

Titik potong antara parabola dan garis,
$\begin{aligned}x^2+2x+1&=mx+c\\x^2+(2-m)x+1-c&=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_A+x_B&=\dfrac{-(2-m)}{1}\\[8pt]4&=m-2\\m&=6\end{aligned}$

$y=mx+c=6x+c$

$\begin{aligned}y_A+y_B&=6(x_A+x_B)+2c\\8&=6(4)+2c\\8&=24+2c\\c&=-8\end{aligned}$

$y=6x-8$

Jadi, persamaan garis $AB$ adalah $y=6x-8$.
JAWAB: E

---

No. 10

Banyak parabola ${Ax^2+Cy=0}$ dengan $A$ dan $C$ dua bilangan berbeda dipilih dari {0, 1, 4, 16} adalah

1. $10$
2. $8$
3. $6$

4. $4$
5. $3$

SUMBER

$\begin{aligned}Ax^2+Cy&=0\\y&=-\dfrac{A}Cx^2\end{aligned}$
$A,C\neq0$

$A$ dan $C$ merupakan permutasi 2 angka dari {1, 4, 16}. Permutasi 2 dari 3 adalah:
$\begin{aligned}P_2^3&=\dfrac{3!}{(3-2)!}\\[8pt]&=\dfrac{3\cdot2\cdot1}{1!}\\[8pt]&=6\end{aligned}$

Tapi kita lihat bahwa ada 2 pasang {$A$, $C$} yang menghasilkan nilai $-\dfrac{A}C$ yang sama yaitu {{1, 4},{4, 16}} dan {{4, 1}, {16, 4}}. Sehingga totalnya ada
$6-2=\boxed{\boxed{4}}$

Jadi, Banyak parabola ada 4 buah.
JAWAB: D

• 1
• 2

Share this post