Exercise Zone : Teorema Sisa (Remainder Theorem)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Teorema Sisa Tingkat Dasar. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Diketahui suku banyak ${P(x) = 2x^4 + ax^3-3x^2 + 5x + b}$. Jika $P(x)$ dibagi ${(x − 1)}$ sisa $11$, dibagi ${(x + 1)}$ sisa $-1$, maka nilai ${(2a + b) =}$

1. $13$
2. $10$
   
3. $8$
   

4. $7$
5. $6$
   

GANESHA OPERATION

$\begin{aligned} P(1)&=11\\ 2(1)^4 + a(1)^3-3(1)^2 + 5(1) + b&=11\\ 2 + a-3+ 5+ b&=11\\ a+b&=7 \end{aligned}$

$\begin{aligned}P(-1)&=-1\\ 2(-1)^4 + a(-1)^3-3(-1)^2 + 5(-1) + b&=-1\\ 2 -a-3-5+ b&=-1\\ -a+b&=5 \end{aligned}$

CARA BIASA	CARA CEPAT
$\begin{aligned} a+b&=7\\ -a+b&=5\qquad&+\\\hline 2b&=12\\ b&=6\end{aligned}$ $\begin{aligned} a+b&=7\\ a+6&=7\\ a&=1 \end{aligned}$ $\begin{aligned} 2a+b&=2(1)+6\\ &=2+6\\ &=\boxed{\boxed{8}} \end{aligned}$	$\begin{aligned} a+b&=7\qquad&\times3\\ -a+b&=5\qquad&\times-1\end{aligned}$ $\begin{aligned} 3a+3b&=21\\ a-b&=-5\qquad&+\\\hline 4a+2b&=16\\ 2a+b&=\boxed{\boxed{8}} \end{aligned}$

Jadi, $2a+b=8$.
JAWAB: C

---

No. 2

Jika $f(x)$ dibagi ${(x-3)}$ sisanya $5$ sedangkan jika dibagi ${(x+1)}$ sisanya $1$. Jika $f(x)$ dibagi dengan ${x^2-2x-3}$ sisanya adalah

1. ${x+2}$
2. ${2x+3}$
   
3. ${3x-1}$
   

4. ${2x+1}$
5. ${x+3}$
   

$f(3)=5$
$f(-1)=1$
Misal $f(x)$ dibagi $x^2-2x-3$ sisanya adalah $ax+b$

$x^2-2x-3(x-3)(x+1)$

$f(3)=3a+b=5$
$f(-1)=-a+b=1$

$\begin{aligned} 3a+b&=5\\ -a+b&=1&\qquad-\\\hline 4a&=4\\ a&=1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} -a+b&=1\\ -1+b&=1\\ b&=2 \end{aligned}$

Jadi, sisanya adalah $x+2$.
JAWAB: A

---

No. 3

Jika ${f(x)=ax^3+2bx^2-bx+2}$ dibagi dengan ${(x-1)}$ sisanya $3$, sedangkan jika dibagi dengan ${(x-2)}$ sisanya $-4$. Nilai ${2a+b}$ adalah

1. $5$
2. $-5$
   
3. $-7$
   

4. $-12$
5. $1$
   

$\begin{aligned} f(1)&=3\\ a(1)^3+2b(1)^2-b(1)+2&=3\\ a+2b-b+2&=3\\ a+b&=1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(2)&=-4\\ a(2)^3+2b(2)^2-b(2)+2&=-4\\ 8a+8b-2b+2&=-4\\ 8a+6b&=-6\\ 4a+3b&=-3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} a+b&=1\qquad&\color{red}{\times3}\\ 4a+3b&=-3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3a+3b&=3\\ 4a+3b&=-3\qquad-\\\hline -a&=6\\ a&=-6 \end{aligned}$

$\begin{aligned} a+b&=1\\ -6+b&=1\\ b&=7 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2a+b&=2(-6)+7\\ &=-12+7\\ &=\boxed{\boxed{-5}} \end{aligned}$

Jadi, $2a+b=-5$.
JAWAB: B

---

No. 4

Jika ${f(x)=ax^3+3bx^2+(2a-b)x+4}$ dibagi dengan ${(x-1)}$ sisanya $10$, sedangkan jika dibagi dengan ${(x+2)}$ sisanya $2$. Nilai ${a+b}$ adalah

1. $1$
2. $\dfrac43$
   
3. $\dfrac73$
   

4. $2$
5. $3$
   

$\begin{aligned} f(1)&=10\\ a(1)^3+3b(1)^2+(2a-b)(1)+4&=10\\ a+3b+2a-b+4&=10\\ 3a+2b&=6 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(-2)&=2\\ a(-2)^3+3b(-2)^2+(2a-b)(-2)+4&=2\\ -8a+12b-4a+2b+4&=2\\ -12a+14b&=-2\\ 6a-7b&=1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3a+2b&=6\qquad&\color{red}{\times2}\\ 6a-7b&=1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 6a+4b&=12\\ 6a-7b&=1\qquad-\\\hline 11b&=11\\ b&=1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3a+2b+b&=6+1\\ 3a+3b&=7\\ a+b&=\boxed{\boxed{\dfrac73}} \end{aligned}$

Jadi, $a+b=\dfrac73$.
JAWAB: C

---

No. 5

Suku banyak $f(x)$ dibagi ${(x+1)}$ sisanya $-2$ dan dibagi ${(x-3)}$ sisa $7$, suku banyak $g(x)$ dibagi ${(x+1)}$ sisa $3$ dan dibagi ${(x-3)}$ sisa $2$. Diketahui ${h(x)=f(x)\cdot g(x)}$, jika $h(x)$ dibagi $\left(x^2-2x-3\right)$ sisanya adalah

1. $S(x)=3x-1$
2. $S(x)=4x-1$
   
3. $S(x)=5x-1$
   

4. $S(x)=6x-1$
5. $S(x)=7x+2$
   

$f(-1)=-2$
$f(3)=7$
$g(-1)=3$
$g(3)=2$

Misal sisanya adalah $ax+b$

$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$

$\begin{aligned} h(-1)=a(-1)+b&=f(-1)g(-1)\\ -a+b&=(-2)(3)\\ -a+b&=-6 \end{aligned}$

$\begin{aligned} h(3)=a(3)+b&=f(3)g(3)\\ 3a+b&=(7)(2)\\ 3a+b&=14 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3a+b&=14\\ -a+b&=-6\qquad&-\\\hline 4a&=20\\ a&=5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} -a+b&=-6\\ -5+b&=-6\\ b&=-1 \end{aligned}$

Jadi, sisanya adalah $S(x)=5x-1$.
JAWAB: C

Share this post